Question

如圖，△ABC是⊙O內(nèi)接正三角形，將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△DEF，DE分別交AB，AC于點M，N，DF交AC于點Q，則有以下結(jié)論：①∠DQN=30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周長等于AC的長；④NQ=QC．其中正確的結(jié)論是　　．（把所有正確的結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

考點：

圓的綜合題．

分析：

連結(jié)OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AOD=∠COF=30°，再根據(jù)圓周角定理得∠ACD=∠FDC=15°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DQN=∠QCD+∠QDC=30°；

同理可得∠AMN=30°，由△DEF為等邊三角形得DE=DF，則弧DE=弧DF，得到弧AE=弧DC，所以∠ADE=∠DAC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)有ND=NA，于是可根據(jù)“AAS”判斷△DNQ≌△ANM；利用QD=QC，ND=NA可判斷△DNQ的周長等于AC的長；由于∠NDQ=60°，∠DQN=30°，則∠DNQ=90°，所以QD＞NQ，而QD=QC，所以QC＞NQ．

解答：

解：連結(jié)OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，如圖，

∵△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△DEF，

∴∠AOD=∠COF=30°，

∴∠ACD=∠AOD=15°，∠FDC=∠COF=15°，

∴∠DQN=∠QCD+∠QDC=15°+15°=30°，所以①正確；

同理可得∠AMN=30°，

∵△DEF為等邊三角形，

∴DE=DF，

∴弧DE=弧DF，

∴弧AE+弧AD=弧DC+弧CF，

而弧AD=弧CF，

∴弧AE=弧DC，

∴∠ADE=∠DAC，

∴ND=NA，

在△DNQ和△ANM中

，

∴△DNQ≌△ANM（AAS），所以②正確；

∵∠ACD=15°，∠FDC=15°，

∴QD=QC，

而ND=NA，

∴ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC，

即△DNQ的周長等于AC的長，所以③正確；

∵△DEF為等邊三角形，

∴∠NDQ=60°，

而∠DQN=30°，

∴∠DNQ=90°，

∴QD＞NQ，

∵QD=QC，

∴QC＞NQ，所以④錯誤．

故答案為①②③．

點評：

本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同時熟練掌握三角形全等的判定、等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．