6.如圖,已知點(diǎn)A是雙曲線y=$\frac{4}{x}$第一象限的分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AO并延長交另一分支于點(diǎn)B,以AB為邊作等邊△ABC,點(diǎn)C在第四象限.隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng),點(diǎn)C的位置也不斷變化,但點(diǎn)C始終在雙曲線y=$\frac{k}{x}$(k<0)上運(yùn)動(dòng),則k的值是-12.

分析 連接OC,易證AO⊥OC,OC=$\sqrt{3}$OA.由∠AOC=90°想到構(gòu)造K型相似,過點(diǎn)A作AE⊥y軸,垂足為E,過點(diǎn)C作CF⊥y軸,垂足為F,可證△AEO∽△OFC.從而得到OF=$\sqrt{3}$AE,F(xiàn)C=$\sqrt{3}$EO.設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,b),則ab=4,可得FC•OF=6.設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y),從而有FC•OF=-xy=-12,即k=xy=-12.

解答 解:∵雙曲線y=$\frac{4}{x}$關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
∴OA=OB.
連接OC,如圖所示.
∵△ABC是等邊三角形,OA=OB,
∴OC⊥AB,∠BAC=60°,
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\sqrt{3}$,
∴OC=$\sqrt{3}$OA.
過點(diǎn)A作AE⊥y軸,垂足為E,過點(diǎn)C作CF⊥y軸,垂足為F,
∵AE⊥OE,CF⊥OF,OC⊥OA,
∴∠AEO=∠OFC,∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF,
∴△AEO∽△OFC.
∴$\frac{AE}{OF}$=$\frac{EO}{FC}$=$\frac{AO}{OC}$.
∵OC=$\sqrt{3}$OA,
∴OF=$\sqrt{3}$AE,F(xiàn)C=$\sqrt{3}$EO.
設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,b),
∵點(diǎn)A在第一象限,
∴AE=a,OE=b.
∴OF=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$a,F(xiàn)C=$\sqrt{3}$EO=$\sqrt{3}$b.
∵點(diǎn)A在雙曲線y=$\frac{4}{x}$上,
∴ab=4.
∴FC•OF=$\sqrt{3}$b•$\sqrt{3}$a=3ab=12,
設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y),
∵點(diǎn)C在第四象限,
∴FC=x,OF=-y.
∴FC•OF=x•(-y)=-xy=12.
∴xy=-12.
∵點(diǎn)C在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上,
∴k=xy=-12.
故答案為:-12.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題,涉及到等邊三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、點(diǎn)與坐標(biāo)之間的關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí),有一定的難度.由∠AOC=90°聯(lián)想到構(gòu)造K型相似是解答本題的關(guān)鍵..

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(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=13cm,△ABF的周長為30cm,求△ABF的面積;
(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)P,使得2AE2=AC•AP?若存在,請(qǐng)說明點(diǎn)P的位置,并予以證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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