Question

如圖，在直角三角形ABC和直角三角形ADE中，AB=AC，AD=AE，CE與BD交于點M，BD交AC于N．

①求證：BD=CE；
②求證：BD⊥CE；
③當三角形ABC繞點A順時針方向旋轉到如圖②的位置時，上述結論是否成立？請選擇一個結論給予證明．

Answer 1

分析：①根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出∠BAC=∠EAD=90°，推出∠BAD=∠EAC，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAE，推出BD=CE即可；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出∠AEC=∠ADB，根據(jù)∠1+∠AEC=90°推出∠2+∠ADB=90°，求出∠DME=90°，根據(jù)垂直定義求出即可；
③延長DB交CE于F，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAE，推出BD=CE，∠AEC=∠ADB，求出∠3+∠AEC=90°，求出∠5=90°，根據(jù)垂直定義求出即可．

解答：①證明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
即∠BAD=∠EAC，
∵在△BAD和△CAE中

BA=AC ∠BAD=∠CAE AE=AD

，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；

②證明：∵△BAD≌△CAE，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠EAD=90°，
∴∠1+∠AEC=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠ADB=90°，
∴∠DME=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE；

③解：當三角形ABC繞點A順時針方向旋轉到如圖②的位置時，上述結論還成立，
理由是：延長DB交CE于F，
∵在△BAD和△CAE中

AC=AB ∠CAE=∠BAD=90° AE=AD

，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，
∵∠EAD=90°，
∴∠4+∠ADB=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠3+∠AEC=90°，
∴∠5=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE，
即當三角形ABC繞點A順時針方向旋轉到如圖②的位置時，上述結論還成立．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直定義，三角形的內(nèi)角和定理等知識點，通過做此題培養(yǎng)了學生的猜想能力和推理能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．