Question

16．已知?ABCD的周長(zhǎng)為52，自頂點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE=5，DF=8，則AB的長(zhǎng)為16，BC的長(zhǎng)為10．

Answer 1

分析 根據(jù)∠A為銳角或∠D為銳角分情況進(jìn)行討論，（1）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，（2）當(dāng)∠D為銳角時(shí)，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，設(shè)AB=a，BC=b，根據(jù)平行四邊形的面積公式推出AB×DE=BC×DF，即5a=8b，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出AB=CD，BC=DA后，由周長(zhǎng)公式即可推出2（a+b）=52，通過解方程組即可得到結(jié)論．

解答 解：對(duì)于平行四邊形ABCD有兩種情況：
（1）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，如圖1，
設(shè)AB=a，BC=b，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=5，DF=8，
∴5a=8b，
∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為52，
∴2（a+b）=52，
∴a+b=26，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{5a=8b}\\{a+b=26}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a=16}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴AB=16，BC=10，
∴AB=CD=16，AD=BC=10；
（2）當(dāng)∠D為銳角時(shí)，如圖2，
設(shè)AB=a，BC=b，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=5，DF=8，
∴5a=8b，
∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為52，
∴2（a+b）=52，
∴a+b=26，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{5a=8b}\\{a+b=26}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a=16}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴AB=16，BC=10．
故答案為：16，10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，合并同類二次根式等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于根據(jù)∠A為銳角或∠D為銳角分情況進(jìn)行討論，根據(jù)平行四邊形的面積公式和周長(zhǎng)定理正確的列出方程組，并認(rèn)真的求解，推出AB和BC的長(zhǎng)度，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．