Question

【題目】已知，點(diǎn)M是二次函數(shù)y=ax2（a＞0）圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，），直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)M，F(xiàn)在同一個(gè)圓上，圓心Q的縱坐標(biāo)為．

（1）求a的值；

（2）當(dāng)O，Q，M三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求點(diǎn)M和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，求證：MF=MN+OF．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)Q（m，），F(xiàn)（0，），由QO=QF，根據(jù)勾股定理列出方程即可求得a值；（2）設(shè)M（t，t2），Q（m，），根據(jù)KOM=KOQ，求出t、m的關(guān)系，根據(jù)QO=QM列出方程即可解決問題．（3）設(shè)M（n，n2）（n＞0），則N（n，0），F(xiàn)（0，），利用勾股定理求出MF即可解決問題．

試題解析：（1）∵圓心O的縱坐標(biāo)為，

∴設(shè)Q（m，），F(xiàn)（0，），

∵QO=QF，

∴m2+（）2=m2+（﹣）2，

∴a=1，

∴拋物線為y=x2．

（2）∵M在拋物線上，設(shè)M（t，t2），Q（m，），

∵O、Q、M在同一直線上，

∴KOM=KOQ，

∴=，

∴m=，

∵QO=QM，

∴m2+（）2=（m﹣t）2=（﹣t2）2，

整理得到：﹣t2+t4+t2﹣2mt=0，

∴4t4+3t2﹣1=0，

∴（t2+1）（4t2﹣1）=0，

∴t1=，t2=﹣，

當(dāng)t1=時(shí)，m1=，

當(dāng)t2=﹣時(shí)，m2=﹣．

∴M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）．

（3）設(shè)M（n，n2）（n＞0），

∴N（n，0），F(xiàn)（0，），

∴MF===n2+，MN+OF=n2+，

∴MF=MN+OF．