Question

如圖1，將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起；如圖2，固定三角板ABC，將三角板ADE繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角∠CAE=α（0°＜α＜180°）．
（1）當α為

15

度時，AD∥BC，并在圖3中畫出相應的圖形；
（2）當△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時，直接寫出旋轉角α的所有可能的度數(shù)；
（3）當0°＜α＜45°，連接BD，利用圖4探究∠BDE+∠CAE+∠DBC的度數(shù)是否發(fā)生變化，并給出你的證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AD∥BC，再根據(jù)三角板的度數(shù)即可求出α的度數(shù)；
（2）要分5種情況進行討論，分別畫出圖形，再分別計算出度數(shù)即可；
（3）先設BD分別交AC、AE于點M、N，在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180，再根據(jù)∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，得出∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，然后根據(jù)∠C=30°，∠E=45°，即可得出∠BDE+∠CAE+∠DBC的度數(shù)．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠FGC=∠D=90°，
∵∠C=30°，
∴∠AFD=∠CFG=60°，
∴∠DAF=30°，
∵∠DAE=45°，
∴∠CAE=15°，
∴當α為 15度時，AD∥BC；

（2）當△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時，旋轉角α的所有可能的度數(shù)是：15°，45°，105°，135°，150°；


（3）當0°＜α＜45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°，保持不變；
理由如下：
設BD分別交AC、AE于點M、N，
在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180，
∵∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，
∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，
∵∠C=30°，∠E=45°，
∴∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°；

點評：本題考查旋轉的性質(zhì)．旋轉變化前后，對應點到旋轉中心的距離相等以及每一對對應點與旋轉中心連線所構成的旋轉角相等．要注意旋轉的三要素：①定點-旋轉中心；②旋轉方向；③旋轉角度．