Question

（2010•貴陽(yáng)）如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OA=2cm，∠AOB=120°．
（1）求tan∠OAB的值；
（2）計(jì)算S_△AOB；
（3）⊙O上一動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)S_△POA=S_△AOB時(shí)，求P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)．（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)B重合的情形）

Answer 1

【答案】分析：（1）作OC⊥AB，解直角三角形即可；或利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算也可．
（2）先求出三角形的底，高在（1）題中已知．利用面積公式即可計(jì)算．
（3）根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
解答：解：（1）作OC⊥AB．
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°．
∴OC=1，AC=．
∴tan∠OAB=．                   （4分）

（2）AC=，∴AB=2．
∴S_△AOB=2×1÷2=（cm²）．     （8分）

（3）如圖，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)P₁，
∵點(diǎn)O是直徑BP₁的中點(diǎn)，
S_△AP1O=AD×P₁O，
S_△AOB=AD×BO，
∵P₁O=BO，
∴S_△P1OA=S_△AOB，∠AOP₁=60°．
∴的長(zhǎng)度為（cm）．           （10分）
作點(diǎn)A關(guān)于直徑BP₁的對(duì)稱點(diǎn)P₂，連接AP₂，OP₂，AP₃，

易得S_△P2OA=S_△AOB，∠AOP₂=120°．
∴的長(zhǎng)度為（cm）．           （11分）
過(guò)點(diǎn)B作BP₃∥OA交⊙O于點(diǎn)P₃，
則P₂P₃直徑，
易得S_△P3OA=S_△AOB，
∴的長(zhǎng)度==（cm）．        （12分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了解直角三角形，及三角形的面積公式及弧長(zhǎng)公式．