Question

如圖矩形ABCD中，延長CB到E，使CE=AC，F(xiàn)是AE中點(diǎn)．求證：BF⊥DF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長BF，交DA的延長線于點(diǎn)M，連接BD，進(jìn)而求證△AFM≌△EFB，得AM=BE FB=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，進(jìn)而求得BD=BM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求證BF⊥DF．

解答：證明：延長BF，交DA的延長線于點(diǎn)M，連接BD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴MD∥BC，
∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，
∴△AFM≌△EFB，
∴AM=BE，F(xiàn)B=FM，
∵在矩形ABCD中，
∴AC=BD，AD=BC，
∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD，
∵CE=AC，
∴AC=BD=DM，
∵FB=FM，
∴BF⊥DF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，全等三角形的判定和對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，本題中求證DB=DM是解題的關(guān)鍵．