Question

如圖1，以一塊等腰直角三角板的兩條直角邊為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，OA=OB=3，過點A，B的拋物線對稱軸為直線x=1，拋物線與x軸的另一交點為點D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）如圖2，如果將三角板的直角頂點C在x軸上滑動，一直角所在的直線過點B，另一條直角邊與拋物線交點為E，其橫坐標(biāo)為4，試求點C的坐標(biāo)；
（3）如圖3，點P為拋物線對稱軸上一動點，M為拋物線在x軸上方圖象上一點，N為平面內(nèi)一動點，是否存在P、M、N，使得以A、P、M、N為頂點的四邊形為正方形？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）如答圖2所示，作輔助線，構(gòu)建相似三角形，列方程求出點C的坐標(biāo)；
（3）存在．本問分為5種情形，需要分類討論，分別計算，如答圖3所示．

解答：解：（1）∵拋物線對稱軸為直線x=1，
∴設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-1）²+k
由題意可知：A（3，0）、B（0，3），代入上式得：

4a+k=0 a+k=3

，
解得：a=-1，k=4，
∴y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3．

（2）令x=4，則y=-x²+2x+3=-5，∴E（4，-5）．

如答圖2，過點E作EF⊥x軸于點F，則EF=5，OF=4．
設(shè)C（m，0）（m＜0），則OC=-m，CF=OF+OC=4-m．
易證△BOC∽△CFE，則有

OB

CF

=

OC

EF

，即

3

4-m

=

-m

5

，
解得：m₁=2-

19

，m₂=2+

19

（舍去）
∴C（2-

19

，0）．

（3）存在．
（i）若以AP、AM為正方形的兩邊：

①若點M在對稱軸右側(cè)，如答圖3-1所示．
設(shè)M（x，y）（y＞0）
過M作MF⊥x軸于點F，易證△MFA≌△ACP，
∴MF=AC=2，
∴-x²+2x+3=2，解方程得：x=1±

2

（負(fù)值舍去），
∴M（1+

2

，2）；
②若點M在對稱軸左側(cè)，如答圖3-2所示．
同理可求得：M（1-

2

，2）；
（ii）若以MP、MA為正方形的兩邊：

①若點M在對稱軸右側(cè)，如答圖3-3所示．
設(shè)M（x，y）（y＞0）
過M作MF⊥x軸于點F，易證△MFA≌△AGP，
∴MF=MG，∴OF=CF+OC=MG+OC=MF+OC，即x=y+1．
∴x=（-x²+2x+3）+1，解方程得：x=

-1± 17

2

（負(fù)值舍去），
∴M（

1+ 17

2

，

-1+ 17

2

）；
②若點M在對稱軸左側(cè)，如答圖3-4所示．
同理可求得：M（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）；
（iii）若以AM為正方形的對角線：

如答圖3-5所示，可求得M（2，3）．
綜上所述，存在滿足題意的點．點M的坐標(biāo)為（1+

2

，2），（1-

2

，2），（

1+ 17

2

，

-1+ 17

2

），（2，3），（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）．

點評：本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)、相似三角形、正方形等知識點，涉及考點眾多，計算量大，有一定的難度．本題難點在于第（3）問，需要具備較強的分類討論思維以及空間想象能力，避免漏解．