Question

如圖，AB是直徑，CA切⊙O于點A，連接BC交⊙O點D，E是弧BD的中點，連接AE交BC于點F．
（1）求證：AC=CF；
（2）FE=2，AF=4，求AC的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接BE，若要證明AC=CF，則只要證明∠CAE=∠EFB=∠AFC即可；
（2）易證△BEF∽△ABE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知求出BE的長，進而得到tan∠EFB=

EF

BE

=

3

，所以∠EFB=60°，從而證明△ACF是等邊三角形，所以AC=AF=4．

解答：（1）證明：連接BE，
∵CA是⊙O的切線，
∴∠CAB=90°，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵E是弧BD的中點，
∴弧DE=弧BE，
∴∠BAE=∠DBE，
∴∠CAE=∠EFB=∠AFC，
∴AC=CF；
（2）解：∵弧DE=弧BE，
∴∠BAE=∠DBE
∵∠E=∠E，
∴△BEF∽△ABE，
∴

BE

AE

=

EF

BE

∴BE²=EF•AE，
∴BE=2

3

，
∴tan∠EFB=

EF

BE

=

3

，
∴∠EFB=60°，
∵AC=CF，
∴△ACF是等邊三角形，
∴AC=AF=4．

點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關問題．