Question

15．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE．O點在BC上，半圓O經(jīng)過點C、D、E．
（1）說明：BE是半圓O的切線；
（2）若BD=3，求圖中陰影部分面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OE，如圖，先計算出∠OEC=∠C=30°，則∠BOE=60°，再證明AE=CE，則∠EBC=∠C=30°，所以∠BEO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷BE是半圓O的切線；
（2）利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△OBE中得到BO=2OE，則OD=BD=3，在Rt△DEC中可計算出DE=$\frac{1}{2}$CD=3，CE=$\sqrt{3}$DE=3$\sqrt{3}$，然后利用扇形面積公式，利用$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，圖中陰影部分面積=扇形EOC面積-△OCE的面積進行計算．

解答 （1）證明：連結(jié)OE，如圖，
∵∠ABC=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∵OC=OE，
∴∠OEC=∠C=30°，
∴∠BOE=∠OEC+∠C=60°，
∵DE垂直平分AC，
∴BE為AC邊上的中線，
∴AE=CE，
∴∠EBC=∠C=30°，
∴∠BEO=180°-30°-60°=90°，
∴OE⊥BE，
∴BE是半圓O的切線；
（2）解：在Rt△OBE中，∵∠EBO=30°，
∴BO=2OE，即BD+OD=2OD，
∴OD=BD=3，
在Rt△DEC中，DE=$\frac{1}{2}$CD=3，CE=$\sqrt{3}$DE=3$\sqrt{3}$，
∵∠EOD=60°，
∴∠COE=120°，
∴扇形EOC面積=$\frac{120•π•{3}^{2}}{360}$=3π，
△OCE的面積=$\frac{1}{2}$S_△CDE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴圖中陰影部分面積=扇形EOC面積-△OCE的面積=3π-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．注意把不規(guī)律圖形的面積的計算問題化為規(guī)則圖形面積的和差的計算問題．