Question

如圖，已知一次函數y=-x+7與正比例函數y=

4

3

x的圖象交于點A，且與x軸交于點B．
（1）求點A和點B的坐標；
（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l∥y軸．動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O-C-A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒．
①當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據圖象與坐標軸交點求法直接得出即可，再利用直線交點坐標求法將兩直線解析式聯立即可得出交點坐標；
（2）①利用S_梯形ACOB-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，表示出各部分的邊長，整理出一元二次方程，求出即可；
②根據一次函數與坐標軸的交點得出，∠OBN=∠ONB=45°，進而利用勾股定理以及等腰三角形的性質和直角三角形的判定求出即可．

解答：解：（1）∵一次函數y=-x+7與正比例函數y=

4

3

x的圖象交于點A，且與x軸交于點B．
∴

y=-x+7 y= 4 3 x

，
解得：

x=3 y=4

，
∴A點坐標為：（3，4）；
∵y=-x+7=0，
解得：x=7，
∴B點坐標為：（7，0）．

（2）①當P在OC上運動時，0≤t＜4時，PO=t，PC=4-t，BR=t，OR=7-t，
∵當以A、P、R為頂點的三角形的面積為8，
∴S_梯形ACOB-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，
∴

1

2

（AC+BO）×CO-

1

2

AC×CP-

1

2

PO×RO-

1

2

AM×BR=8，
∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=16，
∴（3+7）×4-3×（4-t）-t×（7-t）-4t=16，
∴t²-8t+12=0，
解得：t₁=2，t₂=6（舍去），
當4≤t＜7時，S_△APR=

1

2

AP×OC=2（7-t）=8，解得t=3，不符合4≤t＜7；
綜上所述，當t=2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8；

②存在．延長CA到直線l交于一點D，當l與AB相交于Q，
∵一次函數y=-x+7與x軸交于（7，0）點，與y軸交于（0，7）點，
∴NO=OB，
∴∠OBN=∠ONB=45°，
∵直線l∥y軸，
∴RQ=RB，CD⊥L，
當0≤t＜4時，如圖1，
RB=OP=QR=t，DQ=AD=（4-t），AC=3，PC=4-t，
∵以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，則AP=AQ，
∴AC²+PC²=AP²=AQ²=2AD²，
∴9+（4-t）²=2（4-t）²，解得：t₁=1，t₂=7（舍去），
當AP=PQ時 3²+（4-t）²=（7-t）²，
解得t=4 （舍去）
 當PQ=AQ時，2（4-t）²=（7-t）²，
解得t₁=1+3

2

（舍去），t₂=1-3

2

（舍去）
當4≤t＜7時，如圖（備用圖），過A作AD⊥OB于D，則AD=BD=4，
設直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t，
由cos∠OAC=

AE

AQ

=

AC

AO

，
得AQ=

5

3

（t-4），
若AQ=AP，則

5

3

（t-4）=7-t，解得t=

41

8

，
當AQ=PQ時，AE=PE，即AE=

1

2

AP，
得t-4=

1

2

（7-t），
解得：t=5，
當AP=PQ時，過P作PF⊥AQ于F，
AF=

1

2

AQ=

1

2

×

5

3

（t-4），
在Rt△APF中，由cos∠PAF=

AF

AP

=

3

5

，
得AF=

3

5

AP，
即

1

2

×

5

3

（t-4）=

3

5

（7-t），
解得：t=

226

43

，
綜上所述，當t=1、5、

41

8

、

226

43

秒時，存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形．

點評：此題主要考查了一次函數與坐標軸交點求法以及三角形面積求法和等腰直角三角形的性質等知識，此題綜合性較強，利用函數圖象表示出各部分長度，再利用勾股定理求出是解決問題的關鍵．