Question

如圖所示，∠C=90°，Rt△ABC中，∠A=30°，Rt△A′B′C中，∠A′=45°．點A’、B分別在線段AC、B′C上．將△A′B′C繞直角頂點C順時針旋轉一個銳角q時，邊A′B′分別交AB、AC于P、Q，且△APQ為等腰三角形．求銳角q的度數．

Answer 1

解：①當∠A為等腰△AOQ的底角時，此時PQ=AQ，
∵∠A=30°，
∴∠AQP=∠A′QC=120°，
∵∠A′=45°，
∴∠A′CQ=180°-∠A′QC-∠A′=180°-120°-45°=15°，
由旋轉的性質可知∠q=∠A′CQ=15°；
②當∠A為等腰△AOQ的頂角時，此時AP=AQ，
∵∠A=30°，
∴∠APQ=∠B′PQ===75°，
∵∠B′=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠B′EP=∠BEC=180°-∠B′-∠B′PQ=180°-45°-75°=60°，
∵∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠q=180°-∠B-∠BEC=180°-60°-60°=60°．
故答案為：15°，60°．
分析：由于△APQ為等腰三角形，∠A為底角或頂角不能確定，故應分∠A為底角和頂角兩種情況進行討論．
點評：本題考查的是圖形旋轉的性質及等腰三角形的性質、三角形內角和定理，熟知以上知識是解答此題的關鍵．