解:①當∠A為等腰△AOQ的底角時,此時PQ=AQ,
∵∠A=30°,
∴∠AQP=∠A′QC=120°,
∵∠A′=45°,
∴∠A′CQ=180°-∠A′QC-∠A′=180°-120°-45°=15°,
由旋轉的性質可知∠q=∠A′CQ=15°;
②當∠A為等腰△AOQ的頂角時,此時AP=AQ,
∵∠A=30°,
∴∠APQ=∠B′PQ=
=
=75°,
∵∠B′=90°-∠A=90°-30°=60°,
∴∠B′EP=∠BEC=180°-∠B′-∠B′PQ=180°-45°-75°=60°,
∵∠B=90°-∠A=90°-30°=60°,
∴∠q=180°-∠B-∠BEC=180°-60°-60°=60°.
故答案為:15°,60°.
分析:由于△APQ為等腰三角形,∠A為底角或頂角不能確定,故應分∠A為底角和頂角兩種情況進行討論.
點評:本題考查的是圖形旋轉的性質及等腰三角形的性質、三角形內角和定理,熟知以上知識是解答此題的關鍵.