Question

如圖，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外側(cè)作Rt△ABE和Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q，

（1）若Rt△ABE和Rt△ACF都是等腰三角形，直接寫出EP與FQ有怎樣的數(shù)量關(guān)系；

（2）若Rt△ABE和Rt△ACF中滿足AB= k AE，AC= k AF時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請?zhí)骄縀P與FQ有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（3）若Rt△ABE和Rt△ACF中滿足AB= k AE，AC= mAF時，聯(lián)結(jié)EF交射線GA于點D，試探究ED與FD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

 

Answer 1

【答案】

問題探究

          （1）結(jié)論：EP=FQ.  

          （2）結(jié)論： EP=FQ. 

     理由：∵四邊形ABME是矩形， ∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.

∵AG⊥BC， ∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP. 

∵ ∠AGB=∠EPA=90°  ∴ △ABG∽△EAP，

∴  = .    ∵AB= k AE，  ∴  = k  

同理△ACG∽△FAQ，∴ = = k

∴  =. ∴  EP=FQ. 

(3) . 

由（2）可知：∴ = k，  =m 

∴ = k,  = m. ∴

∵EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，∴ EP∥FQ.

∴       

【解析】易證△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，F(xiàn)Q=AG，即可解題；

②易證△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，根據(jù)對應(yīng)變成比例即可求解。