Question

7．在數(shù)學(xué)里，我們規(guī)定：a^-n=$\frac{1}{{a}_{n}}$（a≠0）．無(wú)論從仿照同底數(shù)冪的除法公式來(lái)分析，還是仿照分式的約分來(lái)分析，這種規(guī)定都是合理的．正是有了這種規(guī)定，指數(shù)的范圍由非負(fù)數(shù)擴(kuò)大到全體整數(shù)，概念的擴(kuò)充與完善使我們解決問(wèn)題的路更寬了．例如a²•a^-3=a^2+（-3）=a^-1=$\frac{1}{a}$．?dāng)?shù)的發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程，其實(shí)人們?cè)缇桶l(fā)現(xiàn)了非實(shí)數(shù)的數(shù)．
人們規(guī)定：i²=1，這里數(shù)i類似于實(shí)數(shù)單位1，它的運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)運(yùn)算法則完全類似：2i+$\frac{1}{3}$i=$\frac{7}{3}$i（注意：由于非實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)單位不同，因此像2+i之類的運(yùn)算便無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行，2+i就是一個(gè)非實(shí)數(shù)的數(shù)），6×0.5i； 2i×3i=6i²=-6；（3i）²=9i²=9；-4的平方根為±2i；如果x²=-7，那么x=±$\sqrt{7}$i．…數(shù)的不斷發(fā)展進(jìn)一步證實(shí)，這種規(guī)定是合理的．
利用上述所學(xué)知識(shí)解決下面的兩個(gè)問(wèn)題：
（1）解方程：x²+5=0；
（2）試用配方法求一元二次方程x²+x+1=0的非實(shí)數(shù)解．

Answer 1

分析 （1）移項(xiàng)得x²=-5，根據(jù)閱讀材料求出x=±$\sqrt{5}$i；
（2）先將原式配方后變?yōu)椋▁+$\frac{1}{2}$）²=-$\frac{3}{4}$，再將x+$\frac{1}{2}$當(dāng)作一個(gè)整體按照條件中的方法就可以求出其值．

解答 解：（1）x²+5=0，
x²=-5，
x=±$\sqrt{5}$i，
x₁=$\sqrt{5}$i，x₂=-$\sqrt{5}$i；

（2）原方程變形為：（x+$\frac{1}{2}$）²=-$\frac{3}{4}$，
∴x+$\frac{1}{2}$=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
∴x₁=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，x₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的運(yùn)用以及解法，在解答中要求學(xué)生具有較強(qiáng)的閱讀能力和分析能力，解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題．