Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），∠AOB=30°，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)E作E關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC與OB相交，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題AC與OB的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，PA+PE的最小值為AC，過點(diǎn)C作CD⊥OA于D，求出CE，∠OEC=60°，再求出ED、CD，然后求出AD，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答 解：如圖，過點(diǎn)E作E關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC與OB相交，
則AC與OB的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，PA+PE的最小值=AC，
過點(diǎn)C作CD⊥OA于D，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0），且∠AOB=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$，CE=1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∠OEC=90°-30°=60°，
∴ED=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0），∠OAB=90°，
∴AE=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴AD=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{11}{4}$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=$\sqrt{（\frac{11}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點(diǎn)P的位置以及表示PA+PE的最小值的線段是解題的關(guān)鍵．