Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O分別交AB，BC于點M，N，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P．
（1）求證：∠BAC=2∠BCP；
（2）若BC=2$\sqrt{5}$，sin∠BCP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求點B到AC的距離．

Answer 1

分析 （1）連接AN，由圓周角定理可得AN⊥BC，再由等腰三角形的性質(zhì)可得AN平分∠BAC，所以再證明∠NAC=∠BCP即可；
（2）易求AC，AN的長，再根據(jù)△ABC的面積為定值即可得到點B到AC的距離．

解答 （1）證明：連接AN，
∵AC為直徑，
∴AN⊥BC，
∵AB=AC，
∴AN平分∠BAC，
∵PC是圓的切線，
∴∠ACP=90°，
∵∠NAC+∠ACB=∠PCB+∠ACB=90°，
∴∠NAC=∠BCP，
即∠BAC=2∠BCP；
（2）∵BC=2$\sqrt{5}$，BN=CN，
∴CN=$\sqrt{5}$，
∵sin∠BCP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠ACN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AC=5，
∴AN=$\sqrt{A{C}^{2}-C{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴點B到AC的距離=$\frac{AN•BC}{AC}$=$\frac{2\sqrt{5}×2\sqrt{5}}{5}$=4．

點評 本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．