Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，過(guò)A點(diǎn)作AD⊥x軸于D，已知OA=，，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）試問(wèn)在y軸上是否存在著點(diǎn)P使S_△APB=5？如果有，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，連接OB，在Rt△AOD中，OA=，AD=OD，且OD²+AD²=OA²，
代入解得AD=1，OD=2，
故A（-2，1），
則反比例函數(shù)解析式為：xy=k=-2，
y=-，
已知B點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
則（-2）×1=m，
解得m=-4，
故B（，-4），
設(shè)直線(xiàn)AB解析式為y=kx+b，
則，
得，
直線(xiàn)AB解析式為y=-2x-3，

（2）當(dāng)一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時(shí)，
即反比函數(shù)圖象在一次函數(shù)的上方時(shí)，
利用圖象可以得出，x的取值范圍是：-2＜x＜0或x＞；

（3）∵直線(xiàn)AB解析式為y=-2x-3，
∴圖象與y軸交于點(diǎn)E（0，-3），
∴EO=3，
∵S_△APB=5，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為：-2，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，
∴S_△AEP=×2×PE=PE，
S△_PEB=×PE，
∴PE+PE=PE=5，
∴PE=4，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1），
若P點(diǎn)在E點(diǎn)下方，可以得出P′E=4，
∴P′點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-7）．
故P點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1）或（0，-7）
分析：（1）連接OB，在Rt△AOD中，由勾股定理求OD、AD，確定A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積不變，求B點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線(xiàn)AB的解析式以及反比函數(shù)解析式，
（2）根據(jù)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可求當(dāng)一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）利用S_△APB=5，以及利用A，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)得出EP的長(zhǎng)度即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比函數(shù)的綜合題以及三角形面積求法和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)值的大小關(guān)系是解題關(guān)鍵．