Question

4．如圖，二次函數(shù)y=-x²-（2m+2）x-m²-4m+3（m為非負(fù)整數(shù)）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線x=-1上找一點P，使△PBC的周長最小，并求出點P的坐標(biāo)；
（3）點Q在拋物線上，且在第二象限內(nèi)，設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為t，問t為何值時，四邊形AQCB的面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點，可得出（2m+2）²-4（m²+4m-3）＞0，求得m的取值范圍，再根據(jù)m是非負(fù)整數(shù)，求出m的值，從而得出二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可得C′點，根據(jù)待定系數(shù)法，可得BC′的解析式，根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值；
（3）把四邊形AQCB的面積分成兩個三角形和一個直角梯形，根據(jù)三角形和梯形的面積公式，可得二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）由題意得，（2m+2）²-4（m²+4m-3）＞0，
解得：m＜2，
∵m是非負(fù)整數(shù)，
∴m=0或1，
當(dāng)m=0時，二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3，
當(dāng)m=1時，二次函數(shù)的解析式為y=-x²+4x-2，
∵圖象與x軸交于點A和點B，點A、B分別在原點的左、右兩邊，
∴當(dāng)m=1時，二次函數(shù)的解析式為y=-x²+4x-2不符合題意，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）如圖，

作C點關(guān)于x=-1的對稱點C′連接BC′交對稱軸于P點，
PB+PC=PC+PA=AC．
由C（0，3）得C′點坐標(biāo)為（-2，3）．
當(dāng)y=0時，-x²-2x+3=0．
解得x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0），B（1，0）．
設(shè)BC′的解析式為y=kx+b，圖象過點（-2，3），（1，0），得
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=3}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴BC′的解析式為y=-3x+3，
當(dāng)x=-1時，y=-3×（-1）+3=6，
P點坐標(biāo)為（-1，2）時，△PBC的周長最小；
（3）如圖，

設(shè)Q點坐標(biāo)為（t，-t²-2t+3）（-3＜t＜0），作QM⊥x軸于點M，由圖可知：
S_{四邊形AQCB}=S_△AQM+S+S_△BOC
=$\frac{1}{2}$（t+3）（-t²-2t+3）+$\frac{1}{2}$（-t²-2t+3+3）（-t）+$\frac{1}{2}$×1×3
=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t+3
=-$\frac{3}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$
因此t=-$\frac{3}{2}$時，四邊形AQCB的面積最大，這個最大面積是$\frac{75}{8}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，考查拋物線與x軸的交點問題，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，利用對稱性求最短距離，以及利用面積的計算方法建立二次函數(shù)求最值問題．