Question

設(shè)a，b，c表示三角形三邊的長，它們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，如果b=n（n是自然數(shù)），試問這樣的三角形有多少個(gè)？

Answer 1

分析：因?yàn)楫?dāng)b=n時(shí)，a可取n個(gè)值（1，2，3，n），對應(yīng)于a的每個(gè)值，不妨設(shè)a=k（1≤k≤n）．由于b≤c＜a+b，即n≤c＜n+k，所以c可能取的值恰好有k個(gè)（n，n+1，n+2，n+k-1）．所以，當(dāng)b=n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

．

解答：解：（1）設(shè)b=n=1，這時(shí)b=1，因?yàn)閍≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3．若c=1，則得到一個(gè)三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a+b=2，那么a+b不大于第三邊c，這時(shí)不可能由a，b，c構(gòu)成三角形，可見，當(dāng)b=n=1時(shí)，滿足條件的三角形只有一個(gè)．

（2）設(shè)b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表．

a	c	三角形個(gè)數(shù)
2	2，3	2
1	2	1

這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2=3．

（3）設(shè)b=n=3，類似地可得表．

a	c	三角形個(gè)數(shù)
3	3，4，5	3
2	3，4	2
1	3	1

這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2+3=6．
通過上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：
1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；本題先研究一些特殊情況，從而得出一般結(jié)論．