Question

【題目】如圖，已知直線(xiàn)lAC：y=﹣交x軸、y軸分別為A、C兩點(diǎn)，直線(xiàn)BC⊥AC交x軸于點(diǎn)B．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線(xiàn)BC的解析式；

（2）將△OBC關(guān)于BC邊翻折，得到△O′BC，過(guò)點(diǎn)O′作直線(xiàn)O′E垂直x軸于點(diǎn)E，F(xiàn)是y軸上一點(diǎn)，P是直線(xiàn)O′E上任意一點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)|PA﹣PC|最大時(shí)，請(qǐng)求出QF+FC的最小值；

（3）若M是直線(xiàn)O′E上一點(diǎn)，且QM=3，在（2）的條件下，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)N，使得以Q、F、M、N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（6，0）；y=x﹣2；（2）5；（3）（6，3）或（0，）或（0，7）或（6，9）.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線(xiàn)垂直k的乘積為-1，求出直線(xiàn)BC的解析式即可解決問(wèn)題；

（2）首先證明∠ACO=30°，如圖，作QH⊥AC于H，交y軸于F．則FH=CF，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，QF+FC的最小值為線(xiàn)段HQ的長(zhǎng)；

（3）求出點(diǎn)M坐標(biāo)分兩種情形分別討論求解即可.

解：（1）由題意A（﹣2，0），C（0，﹣2），

∵直線(xiàn)lAC：y=﹣，BC⊥AC，

∴直線(xiàn)BC的解析式為y=x﹣2，

令y=0，解得x=6，

∴B（6，0）．

（2）∵△OBC關(guān)于BC邊翻折，得到△O′BC，

∴可得O′（3，﹣3），

當(dāng)|PA﹣PC|最大時(shí)，點(diǎn)P在直線(xiàn)AC上，此時(shí)P（3，﹣5），

∵P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

∴Q（3，5），

在Rt△AOC中，∵tan∠ACO==，

∴∠ACO=30°，

如圖，作QH⊥AC于H，交y軸于F．

則FH=CF，

根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，QF+FC的最小值為線(xiàn)段HQ的長(zhǎng)，

在Rt△PQH中，∵∠HPQ=∠ACO=30°，PQ=10，

∴HQ=PQ=5，

∴QF+FC的最小值為5．

（3）由（2）可知：F（0，4），

∵QM=3，

∴M（3，2）或（3，8），

當(dāng)M（3，2）時(shí)，如圖，以Q、F、M、N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可得滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為（6，3）或（0，）或（0，7）,

當(dāng)M為（3，8）時(shí)，同法可得滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為（6，9）或（0，7）或（0，）．