Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，點C為（-1，0），過點B作BD⊥x軸，垂足為D，且B點橫坐標為-3．
（1）求證：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直線的函數關系式；
（3）在直線x=-

1

2

上是否存在點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，可得∠BCD=∠OAC，然后利用AAS可證明△BDC≌△COA；
（2）分別求出點B和點C的坐標，然后設出函數關系，代入求出BC所在直線的函數解析式；
（3）若以AC為直角邊，點C為直角頂點，求出直線BC與對稱軸直線x=-

1

2

的交點即為點P₁的坐標；若以AC為直角邊，點A為直角頂點，過點A作AP₂∥BC，求出AP₂與對稱軸直線x=-

1

2

的交點，即為P₂．

解答：（1）證明：∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BC=AC，
在△BDC和△COA中，

∠BDC=∠COA=90° ∠BCD=∠OAC BC=AC

，
∴△BDC≌△COA（AAS）；
（2）∵C點坐標為（-1，0），
∴BD=CO=1，
∵B點橫坐標為-3，
∴B點坐標為（-3，1），
設BC所在直線的函數關系式為y=kx+b，
∴

-k+b=0 -3k+b=1

，
解得：

k=- 1 2 b=- 1 2

，
∴BC所在直線的解析式為y=-

1

2

x-

1

2

；
（3）存在．
∵拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2
=

1

2

（x+

1

2

）²-

17

8

，
∴二次函數的對稱軸為x=-

1

2

，
若以AC為直角邊，點C為直角頂點，對稱軸上有一點P₁，是CP₁⊥AC，
∴點P₁為直線BC與對稱軸直線x=-

1

2

的交點，
由題意得，

y=- 1 2 x- 1 2 x=- 1 2

，
解得：

x=- 1 2 y=- 1 4

，
∴P₁（-

1

2

，-

1

4

）；
若以AC為直角邊，點A為直角頂點，對稱軸上有一點P₂，是AP₂⊥AC，
則過點A作AP₂∥BC，交對稱軸直線x=-

1

2

于點P₂，
∵CD=OA，
∴A（0，2），
則直線AP₂的解析式為y=-

1

2

x+2，
由題意得，

y=- 1 2 x+2 x=- 1 2

，
解得：

x=- 1 2 y= 9 4

，
∴P₂（-

1

2

，

9

4

）．
∴P點坐標分別為：P₁（-

1

2

，-

1

4

），P₂（-

1

2

，

9

4

）．

點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質，待定系數法求出拋物線的解析式，根據解析式求點的坐標，關鍵在于（1）推出∠BCD=∠OAC，（2）根據（1）的結論，推出B點的坐標，（3）注意分情況討論：①若以AC為直角邊，C點為直角頂點，推出P₁點為直線BC與對稱軸直線x=-

1

2

的交點，②若以AC為直角邊，A點為直角頂點，由A點的坐標，求出直線AP₂的解析式．