Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C為（-1，0），過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，且B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3．
（1）求證：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在直線x=-

1

2

上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，可得∠BCD=∠OAC，然后利用AAS可證明△BDC≌△COA；
（2）分別求出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后設(shè)出函數(shù)關(guān)系，代入求出BC所在直線的函數(shù)解析式；
（3）若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，求出直線BC與對稱軸直線x=-

1

2

的交點(diǎn)即為點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作AP₂∥BC，求出AP₂與對稱軸直線x=-

1

2

的交點(diǎn)，即為P₂．

解答：（1）證明：∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BC=AC，
在△BDC和△COA中，

∠BDC=∠COA=90° ∠BCD=∠OAC BC=AC

，
∴△BDC≌△COA（AAS）；
（2）∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
∴BD=CO=1，
∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，1），
設(shè)BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
∴

-k+b=0 -3k+b=1

，
解得：

k=- 1 2 b=- 1 2

，
∴BC所在直線的解析式為y=-

1

2

x-

1

2

；
（3）存在．
∵拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2
=

1

2

（x+

1

2

）²-

17

8

，
∴二次函數(shù)的對稱軸為x=-

1

2

，
若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，對稱軸上有一點(diǎn)P₁，是CP₁⊥AC，
∴點(diǎn)P₁為直線BC與對稱軸直線x=-

1

2

的交點(diǎn)，
由題意得，

y=- 1 2 x- 1 2 x=- 1 2

，
解得：

x=- 1 2 y=- 1 4

，
∴P₁（-

1

2

，-

1

4

）；
若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，對稱軸上有一點(diǎn)P₂，是AP₂⊥AC，
則過點(diǎn)A作AP₂∥BC，交對稱軸直線x=-

1

2

于點(diǎn)P₂，
∵CD=OA，
∴A（0，2），
則直線AP₂的解析式為y=-

1

2

x+2，
由題意得，

y=- 1 2 x+2 x=- 1 2

，
解得：

x=- 1 2 y= 9 4

，
∴P₂（-

1

2

，

9

4

）．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)分別為：P₁（-

1

2

，-

1

4

），P₂（-

1

2

，

9

4

）．

點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，根據(jù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵在于（1）推出∠BCD=∠OAC，（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，推出B點(diǎn)的坐標(biāo)，（3）注意分情況討論：①若以AC為直角邊，C點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，推出P₁點(diǎn)為直線BC與對稱軸直線x=-

1

2

的交點(diǎn)，②若以AC為直角邊，A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，由A點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線AP₂的解析式．