Question

（2007•臨汾）如圖，AB，AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B，C，連接OB，OC，在⊙O外作∠BAD=∠BAO，AD交OB的延長線于點D．
（1）在圖中找出一對全等三角形，并進行證明；
（2）如果⊙O的半徑為3，sin∠OAC=，試求切線AC的長；
（3）試說明：△ABD分別是由△ABO，△ACO經過哪種變換得到的．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】分析：本題可根據三角形全等，切線的性質，圖形的旋轉解答．
（1）直接利用全等的條件易證△ACO≌△ABO；
（2）利用切線的性質可得到直角三角形，利用三角函數值可分別求得所需線段的長度，再利用勾股定理求得AC的長；
（3）利用旋轉的性質和軸對稱的性質可直接得到．
解答：解：（1）在△ACO與△ABO中，
∵OC=OB，∠ABO=∠ACO=90°，
∴∠BAO=∠CAO，OC為公共邊．
∴△ACO≌△ABO．

（2）∵AC切⊙O于點C，
∴OC⊥AC；
在Rt△ACO中，
∵sin∠OAC=，
∴=．
∵OC=3，
∴AO=6．
∴AC===3．

（3）△ABD是由△ABO沿直線AB折疊得到（或△ABD與△ABO關于直線AB對稱），
△ABD是由△ACO繞A點順時針方向旋轉∠CAB（或∠OAD）而得到．
點評：本題的信息量較大，涉及面較廣，是一道較有難度的題目，同學們需細心解答．