如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過B點(diǎn)作BC的垂線與過A點(diǎn)作AB的垂線交于點(diǎn)E,延長BA于點(diǎn)D,使得DE⊥CD,連接CE交BD于F,已知AD=3,則EF=
 
考點(diǎn):勾股定理,等腰直角三角形,相似三角形的判定與性質(zhì)
專題:
分析:先證明△ACB、△EAB與△CDE都是等腰直角三角形,再設(shè)AC=BC=x,則AB=AE=
2
x,BE=2x,CE=
5
x,DE=
5
2
x,在Rt△ADE中利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,解方程求出x的值,再由△BEF∽△ACF,得出EF=2CF,進(jìn)而求出EF的值.
解答:解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=45°.
∵BE⊥BC,
∴∠EBC=90°,∠ABE=90°-∠ABC=45°,
又∵EA⊥AB,
∴△EAB是等腰直角三角形,AB=AE,∠ABE=45°.
∵∠CDE+∠EBC=90°+90°=180°,
∴B、C、D、E四點(diǎn)共圓,
∴∠DCE=∠DBE=45°,
∴△CDE是等腰直角三角形.
設(shè)AC=BC=x,則AB=AE=
2
x,BE=
2
AB=2x,CE=
BE2+BC2
=
5
x,DE=
CE
2
=
5
2
x.
在Rt△ADE中,∵∠DAE=90°,
∴DE2=AD2+AE2,即(
5
2
x)2=32+(
2
x)2,
化簡整理,得
1
2
x2=9,解得x=±3
2
(負(fù)值舍去),
∴CE=
5
x=3
10

∵BE⊥BC,AC⊥BC,
∴BE∥AC,
∴△BEF∽△ACF,
EF
CF
=
BE
AC
=
2x
x
=2,
∴EF=2CF,
∴EF=
2
3
CE=2
10

故答案為:2
10
點(diǎn)評:本題主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,四點(diǎn)共圓,有一定難度.設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)x,在Rt△ADE中利用勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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2
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B、
C、
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