Question

2．如圖，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3$\sqrt{3}$，E為對角線BD上一點，且DE=2BE，過E作FG⊥BD，分別交AB、CD于F、G．將四邊形BCGF繞點B旋轉(zhuǎn)180°，在此過程中，設(shè)直線GF分別與直線CD、BD交于點M、N，當△DMN是以∠MDN為底角的等腰三角形時，則DN的長是10$\sqrt{3}$或6$\sqrt{3}$-4．

Answer 1

分析 先根據(jù)解直角三角形，求得BF的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)求得BF'的長，最后根據(jù)四邊形BCGF旋轉(zhuǎn)后的兩種不同位置進行討論，求得DN的長．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=9，AD=3$\sqrt{3}$，
∴∠DBA=∠MDN=30°，BD=6$\sqrt{3}$
∵DE=2BE，
∴BE=2$\sqrt{3}$，
∵FG⊥BD，
∴BF=$\frac{BE}{cos∠EBF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4
由旋轉(zhuǎn)可得BF'=BF=4，∠F'BC'=∠FBC=90°，∠BFG=∠BF'G'=60°
①如圖，當△DMN是以∠MDN、∠MND為底角的等腰三角形時，∠N=30°
∴tan∠BNF'=$\frac{BF'}{BN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$\frac{4}{BN}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即BN=4$\sqrt{3}$
∴DN=BD+BN=6$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$；
②如圖，當△DMN是以∠MDN、∠NMD為底角的等腰三角形時，∠BNM=60°=∠BF'M，
此時，F(xiàn)'與N重合，故BF'=BN=4
∴DN=BD-BN=6$\sqrt{3}$-4．
故答案為：10$\sqrt{3}$或6$\sqrt{3}$-4

點評 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的不同角度，得到△DMN是以∠MDN、∠MND為底角的等腰三角形或以∠MDN、∠NMD為底角的等腰三角形．解題時注意，等腰三角形的問題一般需要考慮進行分類討論．