Question

如圖1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE．
（1）求證：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）如圖2，若P為線段EC上一動點，過點P作△AEC的內(nèi)接矩形PQMN，使點Q落在線段AE上，點M、N落在線段AC上，當線段PE的長為何值時，矩形PQMN的面積最大？并求出其最大值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)可得到AD=EC，AE=DC，即可證到△DEC≌△EDA（SSS）；
（2）易證AF=CF，設(shè)DF=x，則有AF=4-x，然后在Rt△ADF中運用勾股定理就可求出DF的長；
（3）過點E作EH⊥AC于點H，交EH于點G，如圖2，設(shè)EP=x，然后運用相似三角形的性質(zhì)求出PQ、GH的值（用x的代數(shù)式表示），從而得到矩形PQMN的面積（用x的代數(shù)式表示），然后只需運用配方法就可解決問題．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC．
由折疊可得：EC=BC，AE=AB，
∴AD=EC，AE=DC．
在△DEC和△EDA中，

DE=ED DC=EA EC=AD

，
∴△DEC≌△EDA．

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DCA=∠BAC．
由折疊可得∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，
∴AF=CF．
設(shè)DF=x，則AF=CF=DC-DF=AB-DF=4-x．
在Rt△ADF中，
∵AD²+DF²=AF²，
∴3²+x²=（4-x）²，
解得：x=

7

8

．
∴DF的值為

7

8

．

（3）解：過點E作EH⊥AC于點H，交EH于點G，設(shè)EP=x，如圖2，
則有EG⊥PQ．
在Rt△AEC中，
∵AE=AB=4，EC=BC=AD=3，
∴AC=5．
∵S_△AEC=

1

2

AE•EC=

1

2

AC•EH，
∴EH=

AE•EC

AC

=

4×3

5

=

12

5

．
∵四邊形PQMN是矩形，
∴PQ∥MN，
∴△EPQ∽△ECA，
∴

EG

EH

=

PQ

AC

=

EP

EC

，
∴

EG

12 5

=

PQ

5

=

x

3

，
∴EG=

4

5

x，PQ=

5

3

x，
∴GH=EH-EG=

12

5

-

4

5

x，
∴S_矩形PQMN=PQ•GH
=

5

3

x•（

12

5

-

4

5

x）
=-

4

3

x2+4x 
=-

4

3

（x²-3x）
=-

4

3

[（x-

3

2

）²-

9

4

]
=-

4

3

（x-

3

2

）²+3．
∵-

4

3

＜0，
∴當x=

3

2

時，S_矩形PQMN最大，最大值為3．
∴當線段PE的長為

3

2

時，矩形PQMN的面積最大，最大值為3．

點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、勾股定理、等腰三角形的判定、軸對稱的性質(zhì)等知識，綜合性比較強．而運用相似三角形的性質(zhì)及配方法是解決第（3）小題的關(guān)鍵．