Question

如圖，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AD=DC=4cm，點(diǎn)N在DC上，且CN=1cm，E是AB中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趯?duì)角線AC上找一點(diǎn)M使EM+MN的值最小，并求出EM+MN的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,等腰梯形的性質(zhì)

專題：

分析：首先得出梯形底角的度數(shù)，進(jìn)而連接EN即可確定M的位置，連接EN，交AC于M，作EH⊥BC于H，NF⊥BC于F，作NG⊥EH于G，通過解直角三角形求得EH、BH、FC、NF的值，進(jìn)而求得GN、EG的值根據(jù)勾股定理就可求出其和最小值．

解答：解：連接EN，交AC于M，作EH⊥BC于H，NF⊥BC于F，作NG⊥EH于G，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AD=DC=4cm，
∴∠B=∠DCB，∠DAC=∠DCA，∠DAC=∠ACB，
∴設(shè)∠ACB=x，則∠B=2x，
∴3x=90°，
解得：x=30°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB=8cm，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴EB=2cm，
∴BH=

1

2

BE=1，EH=

3

2

BE=

3

，
∵NC=1，
同理可證：FC=

1

2

，F(xiàn)N=

3

2

，
∴GN=HF=BC-BH-FC=8-1-

1

2

=

13

2

，EG=EH-NF=

3

2

，
∴EN=

EG2+GN2

=

43

，
∴EM+MN的最小值為

43

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了軸對(duì)稱求最短路線以及等腰梯形的性質(zhì)等知識(shí)，解決此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)M的位置．如果在直線的異側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)，要在直線上找一點(diǎn)到兩個(gè)點(diǎn)的距離之和最短，方法是連接這兩個(gè)點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為到兩個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置．