Question

10．已知△ABC中，∠BAC=90°，四邊形ABDE、BCFG是兩個正方形，AB的延長線交DG于P，求證：AC=2BP．

Answer 1

分析 過G作AC的平行線與BP的延長線交與M，利用已知條件證明△BGM≌△ABC，得到AC=BM，GM=AB，再證明△PMG≌△BDP，得到BP=BM，所以BP=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$AC．

解答 解：如圖，過G做AC的平行線與BP的延長線交與M，

∵∠BAC=90°，AC∥MG，
∴∠M+∠BAC=180°，
∴∠M=90°，
∵∠ABC+∠BCA=90°，∠ABC+∠PBG=90°，
∴∠BCA=∠PBG，
∵四邊形BCFG是兩個正方形，
∴BC=BG，
在△BGM和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠BAC}\\{∠MBG=∠ACB}\\{BC=BG}\end{array}\right.$
∴△BGM≌△ABC，
∴AC=BM，GM=AB，
∵四邊形ABDE是正方形，
∴AB=BD，
∴GM=AD，
在△PMG和△BDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠DBP=9{0}^{°}}\\{∠GMP=∠DPB}\\{MG=BD}\end{array}\right.$
∴△PMG≌△BDP，
∴BP=BM，
∴BP=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=2BP．

點評 本題考查了全等三角形的性質定理與判定定理、正方形的性質，解決本題的關鍵是證明三角形全等．