Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，直徑AB左側(cè)的半圓上有一點(diǎn)動點(diǎn)E（不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)EB、ED．

（1）如果∠CBD=∠E，求證：BC是⊙O的切線；
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，△EDB≌△ABD，并給予證明；
（3）在（1）的條件下，若tanE= ，BC= ，求陰影部分的面積．（計算結(jié)果精確到0.1）
（參考數(shù)值：π≈3.14， ≈1.41， ≈1.73）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

即∠ABD+∠BAD=90°．

又∵∠CBD=∠E，∠BAD=∠E，

∴∠ABD+∠CBD=90°，即∠ABC=90°．

∴BC⊥AB．

∴BC是⊙O的切線．

（2）

證明：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到DE經(jīng)過點(diǎn)O位置時，△EDB≌△ABD．證明如下：

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到DE經(jīng)過點(diǎn)O位置時，∠EBD=∠ADB=90°，

在△EDB與△ABD中，

，

∴△EDB≌△ABD（AAS）．

（3）

解：如圖，連接OD，過點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，

∵∠BAD=∠E，tanE= ，

∴tan∠BAD= ．

又∵∠ADB=90°，

∴∠BAD=30°．

∵∠ABC=90°，BC= ，

∴AB= =4．

∴AO=2，OF=1，AF=AOcos∠BAD= ．

∴AD=2 ．

∵AO=DO，

∴∠AOD=120°．

∴S陰影=S扇形OAD﹣S△AOD= ﹣ ×3=2 ×1= π﹣ ≈2.5．

【解析】（1）欲證明BC是⊙O的切線，只需證得BC⊥AB；（2）利用圓周角定理，全等三角形的判定定理AAS證得當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到DE經(jīng)過點(diǎn)O位置時，△EDB≌△ABD；（3）如圖，連接OD，過點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F．S陰影=S扇形OAD﹣S△AOD ． 由圓周角定理和正切三角函數(shù)定義易求AB的長度、圓心角∠AOD=120°．所以根據(jù)扇形面積公式和三角形的面積公式進(jìn)行計算即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的判定定理的相關(guān)知識，掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對扇形面積計算公式的理解，了解在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．