Question

如圖，已知直線y=

1

2

x與拋物線y=-

1

4

x2+6交于A、B兩點，點P在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動．當(dāng)△PAB的面積最大時，點P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：由

y= 1 2 x y=- 1 4 x2+6

，得到A，B兩點的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式，當(dāng)一條直線與直線AB平行，且與拋物線只有一個交點P時，三角形PAB面積最大．將直線解析式y(tǒng)=

1

2

x+m與拋物線解析式聯(lián)立消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，令根的判別式等于0，求出m的值，即可確定出此時P的坐標(biāo)．

解答：解：由

y= 1 2 x y=- 1 4 x2+6

，得A（-6，-3），B（4，2）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將A與B坐標(biāo)代入得：

-6k+b=-3 4k+b=2

，
解得：

k= 1 2 b=0

，
∴直線AB的解析式為y=

1

2

x．
設(shè)平行于直線AB，且與拋物線只有一個交點的直線方程為y=

1

2

x+m，
此時直線與拋物線交于點P，使得△PAB的面積最大，
與二次函數(shù)解析式聯(lián)立消去y得：-

1

4

x²+6=

1

2

x+m，
整理得：x²+2x+4m-24=0，
∴△=4-4（4m-24）=0，
解得：m=

25

4

，
∴此時直線方程為y=

1

2

x+

25

4

．
由

y= 1 2 x+ 25 4 y=- 1 4 x2+6

，解得

x=-1 y= 23 4

，
∴點P坐標(biāo)為（-1，

23

4

）．
故答案為：（-1，

23

4

）．

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，兩直線平行時斜率滿足的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：“平行于直線AB，且與拋物線只有一個交點的直線方程與拋物線交點為P，使得△PAB的面積最大”．