Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向B點(diǎn)以2cm/s的速度移動；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動．若P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間．
（1）當(dāng)t=5時，△PAQ的面積=

25

cm²；
（2）當(dāng)t=

10

3

時，△PAQ是等腰直角三角形；
（3）當(dāng)t為何值時，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的△PAQ與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=5時，AQ=BC-5=10-5=5，AP=2×5=10，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)AQ=AP時△PAQ是等腰直角三角形即可得出t的值；
（3）若以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，有兩種情況：
①△APQ∽△BAC，此時得AQ：BC=AP：AB；
②△APQ∽△BCA，此時得AQ：AB=AP：BC．

解答：解：（1）∵AB=15cm，BC=10cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向B點(diǎn)以2cm/s的速度移動；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動，
∴當(dāng)t=5時，AQ=BC-5=10-5=5，AP=2×5=10，
∴S_△PAQ=

1

2

×AP×AQ=

1

2

×10×5=25cm²．
故答案為：25；

（2）∵AB=15cm，BC=10cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向B點(diǎn)以2cm/s的速度移動；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動，
∴AQ=10-t，AP=2t，
∵△PAQ是等腰直角三角形，
∴10-t=2t，解得t=

10

3

s．
故答案為：

10

3

；

（3）∵以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
∴△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，
①當(dāng)△ABC∽△PAQ時，

AB

AP

=

BC

AQ

，即

15

2t

=

10

10-t

，
解得：t=

30

7

；
②當(dāng)△ABC∽△QAP時，

BC

AP

=

AB

AQ

，

10

2t

=

15

10-t

，解得t=

5

2

．
故當(dāng)t=

30

7

s或t=

5

2

s時，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，難度適中．