Question

已知：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=DC，∠BCD=120°，將直角三角板PMN的30°角的頂點P與點A重合，旋轉(zhuǎn)三角板PMN，在旋轉(zhuǎn)過程中，三角板PMN的直角邊PM與直線BC交于點E，斜邊PN與直線DC交于點F，連接EF．
（1）當E、F分別在線段BC、CD上時，（如圖①），求證：EF=BE+DF；
（2）當E、F分別在直線BC、CD上時，（如圖②、圖③），線段EF、BE、DF之間又有怎樣的數(shù)量關系，請直接寫出結(jié)論．

Answer 1

解：（1）延長CD到H點，使DH=BE，連接AH，
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠ADF+∠ADH=180°，
∴∠ADH=∠B，
∵AD=AB，DH=BE，
∴在△ADH和△ABE中，
，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH=AE，∠HAD=∠EAB，
∵∠DAB=60°，∠FAE=30°，
∴∠EAB+∠DAF=30°，
∴∠DAF+∠HAD=30°，即∠HAF=30°，
∴在△HAF和△EAF中，
，
∴△HAF≌△EAF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HD+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF，

（2）如圖②，BE=EF+DF，
如圖③，DF=EF+BE．

分析：（1）延長CD到H點，使DH=BE，連接AH，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理、平角的定義，即可推出∠ADC+∠ABC=180°，∠B=∠ADH，再由AD=AB，即可推出△ABE≌△ADH，推出∠EAB=∠HAD，根據(jù)∠NAM=30°，即可推出∠HAF=30°，結(jié)合題意推出△AHF≌△AEF后，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推出結(jié)論；
（2）如圖②，在BE上截取BO=DF，連接AO，根據(jù)全等三角形的判定定理推出△DAF≌△BAO，△EFA≌△OEA，推出EF=EO，DF=BO，即得BE=EF+DF；如圖③，在DF上截取DR=BE，連接AR，根據(jù)全等三角形的判定定理推出△DAR≌△BAE，△EFA≌△RAF，推出EF=RF，DR=BE，即得DF=EF+BE．
點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關鍵在于正確地作出輔助線，證明相關的三角形全等．