Question

16．如圖，△OAB是邊長為2的等邊三角形，過點(diǎn)A的直線$y=-\frac{\sqrt{3\;}}{3}x$+m與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求直線AE的解析式；
（3）若點(diǎn)P（p，q）是線段AE段上一動點(diǎn)（不與A、E重合），設(shè)△APB的面積為S，求S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式及定義域；
（4）若點(diǎn)P（p，q）是線段AE段上一動點(diǎn)（不與A、E重合），且△APB是直角三角形，求：點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）作AF⊥x軸于F，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)求E點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）同（1）可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PG=q，GE=4-p，EF=4-1=3，再由△EPG∽△EAF即可得出Q的表達(dá)式，根據(jù)S_△ABP=S_△ABE-S_△EPB即可得出結(jié)論；
（4）分∠ABP=90°與∠APB=90°兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）如圖1，作AF⊥x軸于F，
∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)A（1，$\sqrt{3}$）
代入直線解析式，
得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×1+m=$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)y=0時，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=0，解得x=4，
∴點(diǎn)E（4，0）；

（2）同（1）可知，
∵點(diǎn)A（1，$\sqrt{3}$）
∴代入直線解析式得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×1+m=$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；

（3）如圖2，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，
∵A（1，$\sqrt{3}$），E（4，0），P（p，q），
∴PG=q，GE=4-p，EF=4-1=3．
∵AF⊥x軸，PG⊥x軸，
∴△EPG∽△EAF，
∴$\frac{PG}{AF}$=$\frac{EG}{EF}$，即$\frac{q}{\sqrt{3}}$=$\frac{4-p}{4-1}$，
∴q=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，
∴S=S_△ABE-S_△EPB
=$\frac{1}{2}$BE•AF-$\frac{1}{2}$BE•PG
=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p）
=$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$p
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$p-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（1＜p＜4）；

（4）當(dāng)∠APB=90°時，
設(shè)直線BP的解析式為y=$\sqrt{3}$x+b，
∵B（2，0），
∴2$\sqrt{3}$+b=0，解得b=-2$\sqrt{3}$，
∴直線BP的解析式為y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}\\ y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$，
∴P₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
當(dāng)∠APB=90°時，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+a（k≠0），
∵A（1，$\sqrt{3}$），B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}=k+a\\ 0=2k+a\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\sqrt{3}\\ a=2\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$．
設(shè)直線BP的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+c，
∴B（2，0），
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+c=0，解得c=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴直線BP的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}\\ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$，
∴P₂（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或P₂（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，在解答（3）時要注意分類討論，不要漏解，此題難度適中．