Question

9．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+8（a≠0）與x軸交于A、B兩點、與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y=-x+4與y軸交于點D，點P在拋物線的對稱軸上，且P點的橫坐標是1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第一象限的拋物線上有一個動點M，過點M作直線MN⊥x軸于點N，交直線BD于點E，若點M到直線BD的距離與BN的長度之比為2$\sqrt{2}$：1，求點M的坐標；
（3）如圖2，若點P位于x軸上方，且∠PAB=60°，點Q是對稱軸上的一個動點，將△BPQ繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△B′PQ′（B的對應點為B′，Q的對應點為Q′），是否存在點Q，使△BQQ′的面積是$\frac{\sqrt{3}}{4}$？若存在，請求出PQ的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點B代入以及利用對稱軸公式列出方程組解決．
（2）如圖1中，作MF⊥BD垂足為F，設M（m，-m²+2m+8），因為∠MED=∠BEN，∠MFE=∠ENB=90°由△MFE∽△BNE得$\frac{NF}{BN}=\frac{ME}{EB}$=2$\sqrt{2}$，列出方程解決．
（3）分三種情形列出方程解決，①如圖2中，當點Q在點P上方，設Q（1，m），根據(jù)S_△BQQ′=S_△PQQ′+S_△PBQ′-S_△PBQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$列出方程即可解決，②如圖3中當點Q在點P下方，設Q（1，m）（m＜$\sqrt{3}$），根據(jù)S_△BQQ′=S_△PQB+S_△PQQ′-S_△PBQ′=$\frac{\sqrt{3}}{4}$列出方程即可解決．③如圖4中，當點Q在點P下方，設Q（1，m）（$\sqrt{3}$＜m＜3$\sqrt{3}$），根據(jù)S_△BQQ′=S_△PBQ′-S_△PQQ′-S_△PQB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$列出方程即可解決．

解答 解：（1）∵直線y=-x+4與x軸交于點B，
∴點B坐標（4，0），由題意$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+8=0}\\{-\frac{2a}=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+8．
（2）如圖1中，作MF⊥BD垂足為F，設M（m，-m²+2m+8），
∵∠MED=∠BEN，∠MFE=∠ENB=90°，
∴△MFE∽△BNE，
∴$\frac{NF}{BN}=\frac{ME}{EB}$=2$\sqrt{2}$，
∴ME=2$\sqrt{2}$EB，
∵OD=OB=4，∠DOB=90°，
∴∠ODB=45°，EB=$\sqrt{2}$BN，
∴ME=4BN，
∴-m²+2m+8-（-m+4）=4（4-m）
∴m=3（或4不合題意舍棄），
∴點M坐標為（3，5）
（3）存在．
①如圖2中，當點Q在點P上方，設Q（1，m），∵△PQQ′、△PAB是等邊三角形，
∴QP=PQ′=m-3$\sqrt{3}$，∠BPQ′=90°，
∴S_△BQQ′=S_△PQQ′+S_△PBQ′-S_△PBQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×$6×（m-3\sqrt{3}$）+×$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m-3$\sqrt{3}$）²-$\frac{1}{2}×3×$（m-3$\sqrt{3}$），
整理得$\sqrt{3}$（m-3$\sqrt{3}$）²+6（m-3$\sqrt{3}$）-$\sqrt{3}$=0，
解得m=2$\sqrt{3}$+2（或2$\sqrt{3}$-2不合題意舍棄），此時PQ=2-$\sqrt{3}$
②如圖3中，當點Q在點P下方，設Q（1，m）（m＜$\sqrt{3}$），
∵△PQQ′、△PAB是等邊三角形，
∴QP=PQ′=3$\sqrt{3}$-m，∠BPQ′=90°，
∴S_△BQQ′=S_△PQB+S_△PQQ′-S_△PBQ′=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×$（3\sqrt{3}-m）$×3+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（3$\sqrt{3}$-m）²-$\frac{1}{2}$×6×（3$\sqrt{3}$-m）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
整理得$\sqrt{3}$（3$\sqrt{3}$-m）²-6（3$\sqrt{3}$-m）-$\sqrt{3}$=0
解得m=2$\sqrt{3}$-2（或2$\sqrt{3}$+2不合題意舍棄），此時PQ=$\sqrt{3}+2$
③如圖4中，當點Q在點P下方，設Q（1，m）（$\sqrt{3}$＜m＜3$\sqrt{3}$），
∵△PQQ′、△PAB是等邊三角形，
∴QP=PQ′=3$\sqrt{3}$-m，∠BPQ′=90°，
∴S_△BQQ′=S_△PBQ′-S_△PQQ′-S_△PQB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×$6×（3\sqrt{3}-m）$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（3$\sqrt{3}$-m）²-$\frac{1}{2}$×（3$\sqrt{3}$-m）×3=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
整理得$\sqrt{3}$（3$\sqrt{3}$-m）²-6（3$\sqrt{3}$-m）+$\sqrt{3}$=0
解得m=2$\sqrt{3}$$±\sqrt{2}$．
此時PQ=$\sqrt{3}$$±\sqrt{2}$，
綜上所述：PQ的長為2$±\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$±$\sqrt{2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法、三角形的面積、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是用方程的思想去思考問題，需要正確畫出圖形，屬于中考壓軸題．