Question

已知如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，m），點(diǎn)D（n，0），若|m-a|+（n-b）²=0，a=b．在x軸的負(fù)半軸上有一動(dòng)點(diǎn)B，連接AB，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB，且BC=AB，連接DC并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)Q，試問(wèn)當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的位置是否發(fā)生變化？請(qǐng)先作出判斷，然后證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

專(zhuān)題：

分析：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，0），則c＜0，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，根據(jù)AAS證明△BEC≌△AOB，得出EC=OB=-t，BE=AO=a．再求出C點(diǎn)坐標(biāo)為（a+t，-t），又D（0，a），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)CD的解析式為y=x-a，那么點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，-a），由此得出點(diǎn)Q的位置不發(fā)生變化．

解答：解：當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的位置不發(fā)生變化．理由如下：
∵|m-a|+（n-b）²=0，
∴m-a=0，n-b=0，
∴m=a，n=b，
∵a=b，
∴m=n=a=b，
∴A（0，a），D（a，0）．
設(shè)動(dòng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，0），則c＜0，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E．
在△BEC與△AOB中，

∠CBE=∠BAO=90°-∠ABO ∠BEC=∠AOB=90° BC=AB

，
∴△BEC≌△AOB（AAS），
∴EC=OB=-t，BE=AO=a，
∴OE=BE-OB=a+t，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（a+t，t）．
設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=px+q，
∵C（a+t，t），D（a，0），
∴

(a+t)p+q=t ap+q=0

，解得

p=1 q=-a

，
∴直線(xiàn)CD的解析式為y=x-a，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-a，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，-a），
∴點(diǎn)Q的位置不發(fā)生變化．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，難度適中．通過(guò)作輔助線(xiàn)得到全等三角形，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．