Question

已知如圖在平面直角坐標系中，點A（0，m），點D（n，0），若|m-a|+（n-b）²=0，a=b．在x軸的負半軸上有一動點B，連接AB，過點B作BC⊥AB，且BC=AB，連接DC并延長交y軸于點Q，試問當B點運動時，點Q的位置是否發(fā)生變化？請先作出判斷，然后證明你的結論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,待定系數法求一次函數解析式

專題：

分析：設點B的坐標為（t，0），則c＜0，過點C作CE⊥x軸于E，根據AAS證明△BEC≌△AOB，得出EC=OB=-t，BE=AO=a．再求出C點坐標為（a+t，-t），又D（0，a），運用待定系數法求出直線CD的解析式為y=x-a，那么點Q的坐標為（0，-a），由此得出點Q的位置不發(fā)生變化．

解答：解：當B點運動時，點Q的位置不發(fā)生變化．理由如下：
∵|m-a|+（n-b）²=0，
∴m-a=0，n-b=0，
∴m=a，n=b，
∵a=b，
∴m=n=a=b，
∴A（0，a），D（a，0）．
設動點B的坐標為（t，0），則c＜0，過點C作CE⊥x軸于E．
在△BEC與△AOB中，

∠CBE=∠BAO=90°-∠ABO ∠BEC=∠AOB=90° BC=AB

，
∴△BEC≌△AOB（AAS），
∴EC=OB=-t，BE=AO=a，
∴OE=BE-OB=a+t，
∴C點坐標為（a+t，t）．
設直線CD的解析式為y=px+q，
∵C（a+t，t），D（a，0），
∴

(a+t)p+q=t ap+q=0

，解得

p=1 q=-a

，
∴直線CD的解析式為y=x-a，
當x=0時，y=-a，
∴點Q的坐標為（0，-a），
∴點Q的位置不發(fā)生變化．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，運用待定系數法求一次函數的解析式，非負數的性質，難度適中．通過作輔助線得到全等三角形，進而求出C點坐標是解題的關鍵．