Question

【題目】如圖，將兩塊直角三角尺的60°角和90°角的頂點A疊放在一起．將三角尺ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中三角尺ADE的邊AD始終在∠BAC的內(nèi)部在旋轉(zhuǎn)過程中，探索：

（1）∠BAE與∠CAD的度數(shù)有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）試說明∠CAE﹣∠BAD＝30°；

（3）作∠BAD和∠CAE的平分線AM、AN，在旋轉(zhuǎn)過程中∠MAN的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個定值；若變化，請求出變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）∠BAE+∠CAD＝150°，理由見解析；（2）見解析；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中∠MAN的值不會發(fā)生變化，∠MAN＝75°．

【解析】

（1）根據(jù)題意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，列方程即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)題意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根據(jù)角平分線的定義和角的和差即可得到結(jié)論．

（1）∠BAE+∠CAD＝150°．理由如下：

∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠BAE＝∠BAD+∠CAD+∠CAE＝60°+90°﹣∠CAD，∴∠BAE+∠CAD＝150°；

（2）∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝60°﹣∠BAD，∠CAD＝90°﹣∠CAE，∴60°﹣∠BAD＝90°﹣∠CAE，∴∠CAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中∠MAN的值不會發(fā)生變化．理由如下：

如圖，∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝60°﹣∠CAD，∠CAE＝90°﹣∠CAD．

∵AM，AN分別是∠∠BAD和∠CAE的平分線，∴∠MAD∠BAD＝30°∠CAD，∠NAC∠CAE＝45°∠CAD．

∵∠MAN＝∠MAD+∠CAD+∠NAC＝30°∠CAD+∠CAD+45°∠CAD＝75°．