Question

11．已知四邊形ABCD為任意凸四邊形，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，用S、P分別表示四邊形ABCD的面積和周長(zhǎng)；S₁、P₁分別表示四邊形EFGH的面積和周長(zhǎng)．設(shè)K=$\frac{S}{{S}_{1}}$，K₁=$\frac{P}{{P}_{1}}$，則下面關(guān)于K、K₁的說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． K、K₁均為常值
• B． K為常值，K₁不為常值
• C． K不為常值，K₁為常值
• D． K、K₁均不為常值

Answer 1

分析 根據(jù)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，運(yùn)用三角形中位線定理，得出S_{四邊形EFGH}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，進(jìn)而求得K的值；再根據(jù)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，得出四邊形EFGH的周長(zhǎng)P₁=AC+BD，進(jìn)而通過(guò)計(jì)算求得K₁不為常值．

解答 解：∵E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EH∥BD∥FG，EH=FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴△AEH∽△ABD，△CFG∽△CBD，
∴S_△AEH=$\frac{1}{4}$S_△ABD，S_△CFG=$\frac{1}{4}$S_△CBD，
∴S_△AEH+S_△CFG=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}，
同理可得，S_△BEF+S_△DHG=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}，
∴S_{四邊形EFGH}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，
∴K=$\frac{S}{{S}_{1}}$=2，K為常值；
∵E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EH=FG=$\frac{1}{2}$BD，EF=HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)P₁=AC+BD，
若四邊形ABCD是鄰邊長(zhǎng)為1和2的矩形，則K₁=$\frac{P}{{P}_{1}}$=$\frac{6}{2\sqrt{5}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，則K₁=$\frac{P}{{P}_{1}}$=$\frac{4}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故K₁不為常值．
故選（B）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了中點(diǎn)四邊形的應(yīng)用以及相似三角形，解題時(shí)注意：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；而相似三角形的面積的比等于相似比的平方．