Question

如圖，點(diǎn)A在拋物線y=

1

4

x²上，過點(diǎn)A作與x軸平行的直線交拋物線于點(diǎn)B，延長AO，BO分別與拋物線y=-

1

8

x²相交于點(diǎn)C，D，連接AD，BC，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，且m＞0．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直；
（3）猜想線段AB與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得點(diǎn)A的坐標(biāo)是將x=1代入即可，根據(jù)對稱性可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可得OB的解析式，與二次函數(shù)的解析式組成方程組即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)四邊形ABCD的兩對角線互相垂直時(shí)，由對稱性得直線AO與x軸的夾角等于45°所以點(diǎn)A的縱、橫坐標(biāo)相等，根據(jù)點(diǎn)A在二次函數(shù)y=

1

4

x²上，即可求得m的值；
（3）根據(jù)題意求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，求得AC的長與BD的解析式，即可求得點(diǎn)D與C的坐標(biāo)，求得CD的長，可得CD=2AB．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A在拋物線y=

1

4

x²上，且x=m=1，
∴A（1，

1

4

），（1分）
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，
∴B（-1，

1

4

）．（2分）
設(shè)直線BD的解析式為y=kx，
∴k=-

1

4

，
∴y=-

1

4

x．（3分）
解方程組

y=- 1 4 x y=- 1 8 x2

，
得D（2，-

1

2

）．（4分）

（2）當(dāng)四邊形ABCD的兩對角線互相垂直時(shí)，
由對稱性得直線AO與x軸的夾角等于45°
所以點(diǎn)A的縱、橫坐標(biāo)相等，（5分）
這時(shí)，
設(shè)A（a，a），代入y=

1

4

x²，
得a=4，
∴A（4，4），
∴m=4．
即當(dāng)m=4時(shí)，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直．（7分）

（3）線段CD=2AB．（8分）
證明：∵點(diǎn)A在拋物線y=

1

4

x²，且x=m，
∴A（m，

1

4

m²），
得直線AO的解析式為y=

m

4

x，
解方程組

y= m 4 x y=- 1 8 x2

，
得點(diǎn)C（-2m，-

1

2

m2）（9分）
由對稱性得點(diǎn)B（-m，

1

4

m²），D（2m，-

1

2

m²），（10分）
∴AB=2m，CD=4m，
∴CD=2AB．（11分）

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合知識，要注意對稱性質(zhì)的應(yīng)用，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．