Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，圓心在AB上，以AD為弦的⊙O交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BD=2$\sqrt{3}$，∠B=30°，求陰影部分面積．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)平行線判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，從而求得半徑r的值；根據(jù)S_陰影=S_△BOD-S_扇形DOE求得即可．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD為半徑，
∴BC是⊙O切線；

（2）設(shè)OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，
∴OB=2r，BD=$\sqrt{3}$r=2$\sqrt{3}$
解得r=2，
在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴∠BOD=60°．
∴S_扇形ODE=$\frac{60π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π，
∴所求圖形面積為：S_△BOD-S_扇形ODE=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．