Question

【題目】如圖，為⊙的直徑，分別切⊙于點(diǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交⊙于點(diǎn)于點(diǎn).

⑴求證；

⑵若，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

試題分析：（1）利用切線長(zhǎng)定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切線的性質(zhì)得OB⊥BC，則∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF；

（2）連接OD，如圖，利用切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)得到CD=CB=6，OD⊥CE，則CE=10，利用勾股定理可計(jì)算出BE=8，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OB=r，OE=8﹣r，在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理得r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，所以O(shè)E=5，OC=3，然后證明△OEF∽△OCB，利用相似比可計(jì)算出EF的長(zhǎng)．

試題解析（1）證明：∵CB，CD分別切⊙O于點(diǎn)B，D，

∴OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，OB⊥BC，∴∠BCO+∠COB=90°，

∵EF⊥OG，∴∠FEB+∠FOE=90°，而∠COB=∠FOE，∴∠FEB=∠ECF；

（2）解：連接OD，如圖，

∵CB，CD分別切⊙O于點(diǎn)B，D，∴CD=CB=6，OD⊥CE，∴CE=CD+DE=6+4=10，

在Rt△BCE中，BE==8，

設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OB=r，OE=8﹣r，

在Rt△ODE中，r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，

∴OE=8﹣3=5，

在Rt△OBC中，OC==3，

∵∠COB=∠FOE，∴△OEF∽△OCB，

∴，即，∴EF=2．