Question

在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點放在點P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點E、F，連接EF．

（1）如圖，當(dāng)點E與點B重合時，點F恰好與點C重合，求此時PC的長；
（2）將三角板從（1）中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點 E與點A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答：∠PEF的大小是否發(fā)生變化？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1，∠BPC=90°，易證得△ABP∽△DPC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得此時PC的長；
（2）首先過點F作FG⊥AD于點G．易證得△APE∽△GFP，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易求得tan∠PEF=

PF

PE

=2．即可得∠PEF的大小不發(fā)生變化．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=

5

，∠ABP+∠APB=90°．
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°．
∴∠ABP=∠DPC．
∴△ABP∽△DPC．
∴

AP

CD

=

PB

PC

，
即

1

2

=

5

PC

．
∴PC=2

5

；

（2）∠PEF的大小不變．
理由：過點F作FG⊥AD于點G．
∴四邊形ABFG是矩形．
∴∠A=∠AGF=90°．
∴GF=AB=2，∠AEP+∠APE=90°．
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°．
∴∠AEP=∠GPF．
∴△APE∽△GFP，
∴

PF

PE

=

GF

AP

=

2

1

=2．
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=

PF

PE

=2．
即tan∠PEF的值不變．
∴∠PEF的大小不變．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．