Question

已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D，連接BD．
（1）如圖1，若BD：CD=3：4，AD=3，求⊙O的直徑 AB的長；
（2）如圖2，若E是BC的中點(diǎn)，連接ED，請你判斷直線ED與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）證得△ADB∽△BDC，結(jié)合已知比例求得BD=4，在Rt△ABD中，從而得到AB的長；（2）連接OD，E是BC的中點(diǎn)，DE=BE，∠EDB=∠EBD．由∠OBD+∠EBD=90°，得到∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°，即得證．
解答：解：（1）如圖，∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
則∠CDB=∠ADB=90°．
∴∠C+∠CBD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°．
∴∠C=∠ABD．
∴△ADB∽△BDC．
∴．
∵BD：CD=3：4，AD=3，
∴BD=4．
在Rt△ABD中，AB=；（3分）

（2）直線ED與⊙O相切．
證明：如圖，連接OD．
由（1）得∠BDC=90°．
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴DE=BE=BC，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°．
∵點(diǎn)D在⊙O上，且OD⊥DE
∴ED是⊙O的切線． （5分）
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，（1）求得BD=4，在Rt△ABD中，從而得到AB的長；（2）即證明∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°即得證．