Question

如圖，已知直線y=x-1與y軸交于點C，將拋物線y=-（x-2）²向上平移n個單位（n＞0）后與x軸交于A，B兩點．
（1）直接寫出點C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)經(jīng)過C，A，B三點的圓的面積最小時，
①求n的值；
②在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點P，使得⊙P既與直線y=x-1相切，又與y軸相切？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線y=x-1與y軸交于點C，令x=0，求得y的值，即可求得點C的坐標(biāo)；
（2）①首先設(shè)平移后二次函數(shù)的解析式為y=-（x-2）²+n，由過C，A，B三點的圓的圓心一定在直線x=2上，點C為定點，即可得：當(dāng)圓的半徑等于點C到直線x=2的距離時，圓的半徑最小，從而圓的面積最小，則可求得n的值；
②分別從當(dāng)點P在直線AC下方時與當(dāng)點P在直線AC上方時去分析，借助于相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得答案．
解答：解：
（1）令x=0，y=0-1=-1，
∴點C的坐標(biāo)（0，-1）；

（2）①平移后二次函數(shù)的解析式為y=-（x-2）²+n，
由題意知：過C，A，B三點的圓的圓心一定在直線x=2上，點C為定點．
∴當(dāng)圓的半徑等于點C到直線x=2的距離時，圓的半徑最小，從而圓的面積最�。�
此時，圓的半徑為2，面積為4π．
設(shè)圓心為M，直線x=2與x軸交于點D，連接AM，則AM=2，
∵CM=2，OC=1，∴DM=1．
在Rt△AMD中，AD===，
∴點A的坐標(biāo)是（2-，0），代入拋物線得n=．
∴當(dāng)n=時，過C，A，B三點的圓的面積最小，最小面積為4π；

②如圖2，當(dāng)點P在直線y=x-1下方時，
設(shè)直線y=x-1與x軸相交于點E，過點P作PN⊥EC于點N，PM∥y軸交EC于點M，則∠PMN=∠OCE，∠PNM=∠COE=90°，
∴△PMN∽△ECO，
∴，
令y=x-1=0．則x=，即OE=，CE=，
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，則PM=MH+PH，
即PM=m-1+（m-2）²-=（m²-m-3），
∴PN==（m²-m-3），
根據(jù)題意，（m²-m-3）=m，
解得m₁=3+2，m₂=3-2（不合題意，舍去），
即點P的坐標(biāo)是（3+2，-），
當(dāng)點P在直線y=x-1上方時，同理可得（m²-m-3）=-m，
解得m₃=--2（不合題意，舍去），m₄=-2，即點P的坐標(biāo)是（-2，2-5），
綜上，點P的坐標(biāo)是（3+2，-）或（-2，2-5）．
點評：此題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點的特點，二次函數(shù)的平移以及圓的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．