Question

如圖，菱形ABCD周長(zhǎng)為16，∠ADC=120°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,菱形的性質(zhì)

專題：

分析：連接BD，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角線可得∠BAD=

1

2

∠ADC=60°，然后判斷出△ABD是等邊三角形，連接DE，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，DE與AC的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，PE+PB的最小值=DE，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出DE即可得解．

解答：解：如圖，連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAD=

1

2

∠ADC=

1

2

×120°=60°，
∵AB=AD（菱形的鄰邊相等），
∴△ABD是等邊三角形，
連接DE，∵B、D關(guān)于對(duì)角線AC對(duì)稱，
∴DE與AC的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，PE+PB的最小值=DE，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴DE⊥AB，
∵菱形ABCD周長(zhǎng)為16，
∴AD=16÷4=4，
∴DE=

3

2

×4=2

3

．
故答案為：2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)與最短路線的確定方法找出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．