Question

12．從-2，-$\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}$，0，3，4這七個數(shù)中，隨機取出一個數(shù)，記為k，那么k使關(guān)于x的函數(shù)y=kx²-6x+3與x軸有交點，且使關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞3x\\ x＜\frac{1}{2}k+6\end{array}$有且只有3個整數(shù)解的概率為$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 由使關(guān)于x的函數(shù)y=kx²-6x+3與x軸有交點，且使關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞3x\\ x＜\frac{1}{2}k+6\end{array}$有且只有3個整數(shù)解，可得出k的范圍，再找出在該范圍內(nèi)數(shù)有幾個，最后利用等可能概率公式求出結(jié)果．

解答 解：①當(dāng)k≠0時，
∵關(guān)于x的函數(shù)y=kx²-6x+3與x軸有交點，
∴△=6²-4×k×3=36-12k≥0，解得k≤3，
關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞3x\\ x＜\frac{1}{2}k+6\end{array}$可變形為2＜x＜$\frac{1}{2}$k+6，
若其有且只有3個整數(shù)解，則必為3、4、5，
即5＜$\frac{1}{2}$k+6≤6，解得-2＜k≤0，
在-2，-$\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}$，0，3，4這七個數(shù)中，滿足-2＜k≤0且k≠0的有-$\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}$三個數(shù)；
②當(dāng)k=0時，原函數(shù)為y=-6x+3與x軸有交點，
結(jié)合①可知k=0也符合條件．
故取出滿足題中條件數(shù)的概率P=$\frac{4}{7}$．
故答案為：$\frac{4}{7}$．

點評 本題考查了解一元一次不等式組的整數(shù)解、根的判別式以及概率公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)使關(guān)于x的函數(shù)y=kx²-6x+3與x軸有交點，且使關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞3x\\ x＜\frac{1}{2}k+6\end{array}$有且只有3個整數(shù)解，找出k的大致范圍．