Question

【題目】定義：如果M個(gè)不同的正整數(shù)，對(duì)其中的任意兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的積能被這兩個(gè)數(shù)的和整除，則稱這組數(shù)為M個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組．如（3，6）為兩個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組，因?yàn)?×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）為三個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組，因?yàn)椋?5×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…
（1）我們發(fā)現(xiàn)，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是兩個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組；由此猜測(cè)n和n（n﹣1）（n≥2，n為整數(shù)）組成的數(shù)組是兩個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組，請(qǐng)證明這一猜想．
（2）若（4a，5a，6a）是三個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組，求滿足條件的所有三位正整數(shù)a．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵nn（n﹣1）÷[n+n（n﹣1）]=n2（n﹣1）÷n2=n﹣1，

∴n和n（n﹣1）（n≥2，n為整數(shù)）組成的數(shù)組是祖沖之?dāng)?shù)組．

（2）解：∵ = ， = ， = 都是整數(shù)，

∴a是5，9，11的倍數(shù)，

∴滿足條件的所有三位正整數(shù)a為495或990．

【解析】（1）根據(jù)祖沖之?dāng)?shù)組的定義，即可解決問(wèn)題．（2）首先判斷出a是5，9，11的倍數(shù)，由此即可解決問(wèn)題．