Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸的正半軸相交于點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，-3），且BO=CO．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M，試判斷并證明△BCM是否直角三角形．

Answer 1

解：（1）∵BO=CO，點(diǎn)B在x軸的正半軸，C（0，-3），
∴B（3，0），
∵點(diǎn)B、C都在拋物線上，
∴．
∴b=-2，c=-3，
∴y=x²-2x-3；

（2）△BCM是直角三角形．
證明：∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M（1，-4），
∴CM²=1+1=2，BM²=（3-1）²+4²=20，BC²=3²+3²=18，
∴CM²+BC²=BM²
∴△BCM是直角三角形．
分析：（1）由于BO=OC=3，可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）先根據(jù)（1）得出的拋物線求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式分別求出BC²，OM²，CM²的值，根據(jù)勾股定理即可判斷出△BCM是否為直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．