Question

11．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點（-1，2），且與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1．下列結(jié)論：①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③b＜1；④a＞-$\frac{1}{2}$；⑤（a+c）²＜b²中正確的有①②⑤（將你認為正確的結(jié)論番號都填出來）

Answer 1

分析 首先根據(jù)拋物線的開口方向可得到a＜0，拋物線交y軸于正半軸，則c＞0，而拋物線與x軸的交點中，-2＜x₁＜-1、0＜x₂＜1說明拋物線的對稱軸在-1～0之間，即x=-$\frac{2a}$＞-1，可根據(jù)這些條件以及函數(shù)圖象上一些特殊點的坐標(biāo)來進行判斷．

解答 解：由圖知：拋物線的開口向下，則a＜0；拋物線的對稱軸x=-$\frac{2a}$＞-1，且c＞0；
①由圖可得：當(dāng)x=-2時，y＜0，即4a-2b+c＜0，故①正確；
②已知x=-$\frac{2a}$＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正確；
③已知拋物線經(jīng)過（-1，2），即a-b+c=2（1），由圖知：當(dāng)x=1時，y＜0，即a+b+c＜0（2），
由（2）-（1）可得2b＜-2，
∴b＜-1，故③錯誤；
④已知拋物線經(jīng)過（-1，2），即a-b+c=2（1），由圖知：當(dāng)x=1時，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①知：4a-2b+c＜0（3）；聯(lián)立（1）（2），得：a+c＜1；聯(lián)立（1）（3）得：2a-c＜-4；
故3a＜-3，即a＜-1；所以④錯誤；
⑤已知拋物線經(jīng)過（-1，2），即a-b+c=2，
∴a+c=b+2，
∴（a+c）²=（2+b）²，
∵（2+b）²=4+4b+b²，
∵b＜-1
∴4+4b=4+4（1+b）＜0，
∴4+4b+b²＜b²，
∴（a+c）²＜b²，故⑤正確；
因此正確的結(jié)論是①②⑤．
故答案為①②⑤．

點評 本題主要考查對二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等知識點的理解和掌握．二次函數(shù)y=ax²+bx+c系數(shù)符號的確定由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)確定．