Question

【題目】在如圖14所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，四邊形OABC為平行四邊形，OA＝2，∠AOC＝60°，以O(shè)A為直徑的⊙P經(jīng)過點(diǎn)C，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，交AB于E。

（1）求點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；

（2）求證：DE是⊙P的切線；

(3) 小明在解答本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)連結(jié)DA并延長，交x軸于點(diǎn)N，則△AON是等腰三角形．由此，他斷定：“x軸上一定存在除點(diǎn)N以外的點(diǎn)Q，使△AOQ也是等腰三角形，且點(diǎn)Q一定在⊙P外”．你同意他的看法嗎？請充分說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）（2）證明見解析；（3）不同意。理由見解析.

【解析】試題分析：（1）首先得出，∠ACO=90°，進(jìn)而利用OA=2，∠AOC=60°，得出OC=1，AC= ，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先得出四邊形OADC為等腰梯形，進(jìn)而得出△PAD為等邊三角形，從而得出∠BAD=∠PDA，以及PD∥AB，即可得出答案；
（3）分別根據(jù)①當(dāng)OA=OQ時(shí)，②當(dāng)OQ=AQ時(shí)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可；

試題解析：

（1）解：連結(jié)AC，

∵　OA為⊙P的直徑，

∴　∠ACO＝90°，

又∵　OA＝2，∠AOC＝60°，

∴　OC＝1，AC＝，

∴　A點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），

∵　OABC為平行四邊形，

∴　AB＝OC，

∴　B點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）。

（2）證明：連結(jié)PD、AD，如圖所示：

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴CD∥OA，

∴弧OC＝弧AD，

∴OC＝AD，

∴四邊形OADC為等腰梯形，

∴∠DAO＝∠AOC＝60°，

∵PA＝PD，

∴△PAD為等邊三角形，

∴∠PDA＝60°，

∵∠BAO＝180°－60°＝120°，∠DAO＝60°，

∴∠BAD＝60°，　

∴∠BAD＝∠PDA，

∴PD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴DE⊥PD，　

∴DE是⊙P的切線。

（3）解：不同意。理由如下:：

①當(dāng)OA=OQ時(shí)，

以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫弧交x軸于Q1和Q3兩點(diǎn)，

得點(diǎn)Q1（－2,0），Q3（2，0）

②當(dāng)OQ=AQ時(shí)，作OA的中垂線，交x軸于點(diǎn)Q2，

OQ2＝＜，點(diǎn)Q2（，0）。

因此，在x軸上，除了N點(diǎn)外，既存在⊙P內(nèi)的點(diǎn)Q2，又存在⊙P外的點(diǎn)Q1、Q3，它們分別使△AOQ為等腰三角形。