Question

【題目】如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=α．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當△AOD是直角三角形且∠ADO=90°時，求α的度數(shù)；

（3）當α=110°或125°或140°時，判斷△AOD的形狀，請選擇其中一種情況說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）150°；（3）△AOD是等腰三角形，證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質可得∠ACB=60°，然后根據(jù)旋轉的性質可得∠OCB=∠DCA，OC=DC，即可證出∠ACB=∠OCD=60°，從而證出結論；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質和已知條件即可求出∠ADC，然后根據(jù)旋轉的性質即可求出結論；

（3）根據(jù)α的度數(shù)、旋轉的性質、周角的定義、三角形的內角和定理分別求出△AOD的三個內角即可得出結論．

（1）證明：∵△ABC為等邊三角形

∴∠ACB=60°

∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC

∴∠OCB=∠DCA，OC=DC

∴∠OCB＋∠ACO=∠DCA＋∠ACO

∴∠ACB=∠OCD=60°

∴△COD是等邊三角形

（2）解：∵△COD是等邊三角形

∴∠CDO=60°

∵∠ADO=90°

∴∠ADC=∠CDO+∠ADO=60°+90°=150°

∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC

∴ α=∠ADC=150°

（3）解：當α=110°或125°或140°時，△AOD均是等腰三角形

當α=110°時，理由如下：

∴α=∠ADC=110°

∵∠ADO=∠ADC -∠CDO =50°，∠AOD=360°-∠AOB-α-∠COD =80°

∴∠OAD=180°-∠ADO -∠AOD =50°=∠ADO

∴△AOD是等腰三角形；

當α=125°時，理由如下：

∴α=∠ADC=125°

∵∠ADO=∠ADC -∠CDO =65°，∠AOD=360°-∠AOB-α-∠COD =65°

∴∠ADO =∠AOD

∴△AOD是等腰三角形；

當α=140°時，理由如下：

∴α=∠ADC=140°

∵∠ADO=∠ADC -∠CDO =80°，∠AOD=360°-∠AOB-α-∠COD =50°

∴∠OAD=180°-∠ADO -∠AOD =50°=∠AOD

∴△AOD是等腰三角形

以上證明方法任選其一即可．